Problema arranque en frio

Buenas.

Tengo una derbi Cross city 125. De siempre es un moto que en frío hace falta subirle la palanca del starter para que arranque. (En verano o días entre 20-25 grados puede arrancar a veces sin tirar del aire). La cuestión es que de un tiempo a aquí empezó a costarle arrancar incluso tirando de la palanca. La lleve a un taller y se limitaron a hacerme el mantenimiento (filtros / aceite) y cambiarme la bujía.... Evidentemente seguía pasando el problema pero dado el poco interes que pusieron lleve la moto a otro taller. En  el segundo taller aún habiendo avisado de la mala experiencia tuve que llevarla hasta tres veces para que me la revisaran, supuestamente según ellos el problema estaba en la propia palanca del starter que no hacía bien el juego de la palomilla interna y no abría y cerraba bien la válvula del aire... El resultado: efectivamente ahora vuelve a arrancar tirando del starter PERO si no la aceleras para que se caliente termina ahogándose y apagándose. Por añadir datos por si ayuda, cuando la enciendo el sonido del motor es como por latidos o pulsos, no se describirlo, como que le dan bajones y durante esos bajones parpadea las luces del cuadro eléctrico hasta que en uno de esos bajones se Cala...

Que puede ser? Una vez caliente el ruido del motor es contante, las luces del cuadro no parpadean y todo va genial... Hasta que vuelve a quedarse fría.

Podría ser la batería? Antes de la supuesta reparación, en un par de intentos de arranque agote la batería intentándolo... Es posible que se haya jodido y durante los arranques no de la potencia suficiente? (Ni idea)

Subiré un vídeo.

Muchísimas gracias.